RINCON MATEMATICO

CONCURSO VERANO 2008



CONCURSO VERANO 2008 SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Un problema clásico de matemáticas recreativas consiste en determinar, con ayuda de una balanza de dos brazos, una moneda falsa entre un conjunto de ellas, todas con el mismo aspecto exterior. El peso de la moneda falsa es ligeramente diferente al de las restantes, pero no se sabe de antemano si pesa más o menos.
Citaremos un par de direcciones de internet relativas al tema:

Pesas y pesadas de Jesús Escudero.
Problema de las 12 monedas en Wikipedia.
El problema tiene dos variantes:

Fijada la cantidad de monedas, ¿cuál es el menor número de pesadas necesarias para encontrar la falsa?
La respuesta es la siguiente: con "n" monedas, el número mínimo de pesadas necesario para determinar cuál de ellas pesa más o menos que las demás es el menor entero "x" que verifica la relación
3x > 2n + 1.
Fijado el número de pesadas a realizar, ¿cuál es la mayor cantidad de monedas para las cuales el problema tiene solución?
En este caso, se sabe que, con "n" pesadas, el número máximo de monedas es
M(n) = (3n -3)/2,
fórmula que se obtiene a partir de la relación de recurrencia
M(2) = 3; M(n) = M(n-1) + 3n-1, n = 3, 4, ...
Por otra parte, los métodos de resolución del problema general requieren el uso del sistema de numeración en base tres debido a que podemos asignar a cada resultado de una pesada los siguientes valores:
"0" si queda en equilibrio;
"1" si pesa más el platillo de la derecha;
"2" si pesa más el platillo de la izquierda.


Con este planteamiento, Jesús García ha elaborado un juego de adivinación basado en el sistema de numeración en base factorial y muy relacionado con el que ofrecimos en el número anterior de esta sección, MATEMAGIA 51.

El juego, en esta ocasión, estará incompleto y el problema que planteamos como concurso será el de completar la información para poder realizar dicho juego.

El desarrollo del juego es el siguiente:






Imprime unas cartulinas con las figuras que se muestran a continuación y recórtalas formando cuatro dodecágonos del mismo tamaño. Recorta también las regiones impresas en negro para formar diferentes agujeros en las cartulinas.


Deja sobre la mesa la primera cartulina, que llamaremos "cartulina clave".
Pide a un espectador que piense un número entre 1 y 24, mientras le entregas las otras tres cartulinas.
El espectador mira la primera cartulina y compara el valor del número pensado con uno de los que aparecen escritos en la cartulina (par o impar). Dejará esta cartulina sobre la mesa, encima de la "cartulina clave", haciendo coincidir la base de ésta con el valor que corresponda a su número.
A continuación realizará la misma operación con las dos cartulinas restantes. Girando adecuadamente cada una de las cartulinas, hará coincidir la base de la "cartulina clave" con el valor que corresponda al número pensado.
Al final, el número pensado por el espectador será el único que se ve a través de los agujeros de las cartulinas.



El problema es el siguiente: ¿cómo deben numerarse las diferentes secciones de la "cartulina clave" para que el juego funcione correctamente?

Comprobarás que el problema no es difícil: para llegar a la respuesta, puedes fabricarte el juego y comprobar todas las posibilidades. Con este método conseguirás, por un lado participar en nuestro concurso y, por otro lado, tener la posibilidad de realizar el juego ante tus conocidos. Una sugerencia: trata de disimular el principio, por ejemplo, ocultando la "cartulina clave" de la vista del público para mantener la sorpresa y la admiración ante tus habilidades adivinatorias.